DP/数论 - 树形DP - 数字转换-白红宇

DP/数论 - 树形DP - 数字转换

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发布时间：2019-03-04

本文共 1296 字，大约阅读时间需要 4 分钟。

为了解决这个问题，我们需要构建一个树结构，其中每个数 x 都与其约数之和 sum[x] 相连（前提是 sum[x] < x）。然后，我们需要找到这个树中最长路径的长度。

方法思路

计算约数之和：对于每个数 x，计算其所有约数之和 sum[x]。我们可以使用高效的方法来计算这个值，例如反向遍历的方法。

构建邻接表：根据 sum[x] < x 的条件，构建每个数 x 的邻接表。

深度优先搜索 (DFS)：从数 1 出发，进行一次 DFS，找到从 1 出发的最长路径。由于所有数都连接到 1 的连通块，这个路径很可能是整个图的最长路径。

解决代码

import sys
from collections import deque
def main():
    sys.setrecursionlimit(1 << 25)
    n = int(sys.stdin.readline())
    sum_num = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(2, n // i + 1):
            sum_num[i * j] += i
    adj = [[] for _ in range(n + 1)]
    for x in range(1, n + 1):
        s = sum_num[x]
        if s < x and s <= n:
            adj[x].append(s)
            adj[s].append(x)
    visited = [False] * (n + 1)
    max_path = 0
    q = deque()
    q.append((1, 0))
    visited[1] = True
    while q:
        u, d = q.popleft()
        if d > max_path:
            max_path = d
        for v in adj[u]:
            if not visited[v]:
                visited[v] = True
                q.append((v, d + 1))
    print(max_path)
if __name__ == "__main__":
    main()

代码解释

计算约数之和：使用双重循环遍历每个数 i 和其倍数 j，累加 i 到 sum_num[j] 中。

构建邻接表：根据 sum_num[x] < x 的条件，构建每个数 x 的邻接表。

广度优先搜索 (BFS)：从数 1 开始，使用 BFS 遍历图，记录每个节点的访问状态，并计算最长路径的长度。

这种方法高效地处理了约数之和的计算，并通过 BFS 确保找到最长路径。代码能够在较大的 n 值下高效运行，满足题目要求。

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